📍 내심 계산기
삼각형의 내심(내접원의 중심) 좌표를 계산합니다.
꼭짓점 A:
꼭짓점 B:
꼭짓점 C:
내심이란?
삼각형의 세 내각의 이등분선이 만나는 점입니다. 내심에서 세 변까지의 거리가 모두 같으며, 이 거리가 내접원의 반지름(r)입니다.
내심의 좌표 공식
I = (a·A + b·B + c·C) / (a + b + c)
여기서 a, b, c는 각각 꼭짓점 A, B, C의 대변 길이입니다 (a=|BC|, b=|CA|, c=|AB|).
내접원 반지름
r = S / s
S = 삼각형 넓이, s = 반둘레 = (a+b+c)/2
내심의 위치
내심은 항상 삼각형 내부에 위치합니다. 이 점이 외심(외접원 중심)과 다른 점입니다.
다른 표현
r = (s−a)·tan(A/2)
r = (s−b)·tan(B/2)
r = (s−c)·tan(C/2)
계산 예시
A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3)은 A, B, C의 대변이 각각 5, 3, 4이므로 내심은 (1, 1), 내접원의 반지름은 1입니다.
A(0, 0), B(6, 0), C(3, 5.1962)인 정삼각형은 내심이 (3, 1.7321)이고 반지름도 1.7321입니다.
좌표를 넣을 때 유의할 점
각 꼭짓점을 대변의 길이로 가중해야 하며, 단순 평균을 내면 무게중심이 되어 다른 점이 나옵니다. 내심은 정상적인 삼각형에서는 항상 안쪽에 있고, 세 점이 한 직선 위에 있으면 오류로 표시됩니다. 좌표, 반지름, 거리는 모두 같은 단위를 씁니다.
자주 묻는 질문
- 꼭짓점에 대변 길이를 곱하는 이유는 무엇인가요?
- 각의 이등분선이 대변을 이웃한 두 변의 비로 나누기 때문이며, 가중 평균은 이 정리를 좌표로 옮긴 식입니다. 세 꼭짓점을 똑같이 평균하면 무게중심이 되어 다른 점이 됩니다.
- 좌표에서 반지름은 어떻게 구하나요?
- r = 넓이 ÷ 반둘레입니다. 3-4-5 삼각형은 넓이 6, 반둘레 6이므로 r = 1이고, (1, 1)에서 두 변까지의 거리와 같습니다.
- 정삼각형에서는 다른 중심과 겹치나요?
- 그렇습니다. 정삼각형에서는 내심, 무게중심, 외심, 수심이 모두 한 점에 모이며, 밑변에서 높이의 1/3 지점에 있습니다.