🔵 타원의 넓이 계산기
장축과 단축을 입력하여 타원의 넓이를 계산합니다.
타원이란?
평면 위의 서로 다른 두 점 F₁, F₂(초점)로부터 거리의 합이 일정한 점의 집합을 타원이라고 합니다. 즉, 임의의 점 P에 대해 |PF₁| + |PF₂| = 2a (장축) 가 항상 성립합니다.
넓이 계산 방법
S = π × a × b
S: 넓이 | a: 장반축(긴 반지름) | b: 단반축(짧은 반지름)
둘레 계산 방법
L ≈ 2π × √((a² + b²) / 2)
람베르트(Lambert) 근사 공식 — 정확한 적분값의 근사치
타원의 둘레는 원처럼 간단한 공식이 없어 근사식을 사용합니다. 위 공식은 이 중 가장 많이 사용되는 근사 공식입니다.
초점 거리
c = √(a² − b²)
초점 F₁, F₂ 사이의 거리 = 2c
이심률 (Eccentricity)
e = c / a = √(1 − (b/a)²)
e = 0이면 원, 0 < e < 1이면 타원입니다. e가 1에 가까울수록 더 길쭉한 타원이 됩니다.
타원의 방정식
x² / a² + y² / b² = 1
원점을 중심으로 하는 표준형 타원 방정식입니다. a > b > 0이면 장축이 x축에 위치합니다.
계산 예시
반지름이 5cm와 3cm인 타원은 넓이가 π × 5 × 3 ≈ 47.1239cm², 둘레는 약 25.9081cm입니다.
두 반지름이 모두 4cm면 원이 되어 넓이는 π × 16 ≈ 50.2655cm², 둘레는 2π × 4 ≈ 25.1327cm로 정확히 떨어집니다.
결과를 볼 때 유의할 점
넓이는 정확한 값이지만 둘레는 2π√((a² + b²)/2)라는 근사식의 결과입니다. 타원이 길쭉할수록 실제 둘레보다 조금 작게 나오며, 정밀한 값이 필요하면 라마누잔 공식을 쓰는 편이 좋습니다. 입력값은 지름이 아니라 반지름이므로, 지름을 넣으면 넓이가 네 배로 계산됩니다.
자주 묻는 질문
- 둘레가 근사값인 이유는 무엇인가요?
- 타원의 둘레는 초등함수로 표현되지 않고 타원적분으로만 정확히 구할 수 있습니다. 2π√((a² + b²)/2) 식은 타원이 아주 납작하지 않다면 오차가 1% 안쪽에 머뭅니다.
- 지름만 알고 있을 때는 어떻게 입력하나요?
- 지름을 2로 나눠 반지름으로 넣으면 됩니다. 지름 10cm와 6cm인 타원은 반지름 5cm와 3cm이므로 넓이는 π × 15 ≈ 47.1239cm²입니다.
- 이심률은 어디에 쓰나요?
- 타원이 얼마나 찌그러졌는지를 나타내는 값으로 e = √(1 − (b/a)²)입니다. 원은 0, 지구 공전 궤도는 약 0.0167이고 혜성은 0.9를 넘기도 합니다.