🔢 삼차방정식 계산기

삼차방정식이란

최고차항의 차수가 3인 방정식으로, 일반형은 ax³ + bx² + cx + d = 0 (a≠0)입니다. 실수 근은 최소 1개, 최대 3개를 가집니다.

카르다노(Cardano) 공식

눌린 삼차(depressed cubic) t³ + pt + q = 0 으로 치환 후 다음을 적용합니다.

판별식 Δ

Δ > 0: Δ > 0: 서로 다른 실근 3개 (삼각함수법)

Δ = 0: Δ = 0: 중근 포함 실수 근

Δ < 0: Δ < 0: 실근 1개 + 허근 2개 (켤레 복소수)

비에타(Vieta) 공식

계산 예시

x³ − 6x² + 11x − 6 = 0은 서로 다른 세 실근 1, 2, 3을 가지며 판별식이 양수입니다.

x³ + x = 0은 x(x² + 1)로 인수분해되어 실근 0과 ±i가 남습니다. 판별식이 음수일 때 나타나는 전형적인 모양입니다.

결과를 볼 때 유의할 점

삼차함수는 −∞에서 +∞까지 이어지므로 x축을 반드시 한 번은 지납니다. 따라서 실근이 하나도 없는 경우는 없습니다. 판별식이 양수면 서로 다른 실근 세 개, 0이면 중근이 있는 경우, 음수면 실근 하나와 복소근 한 쌍입니다. 계수는 실수로 보고 해는 표시할 때 반올림합니다.

자주 묻는 질문

판별식의 부호는 무엇을 알려주나요?

Δ > 0이면 서로 다른 실근 세 개, Δ = 0이면 중근이 있는 실근, Δ < 0이면 실근 하나와 켤레복소근 한 쌍입니다.

a가 0이면 왜 안 되나요?

x³ 항이 사라지면 차수가 2로 떨어져 다른 풀이법을 써야 합니다. a = 0이면 삼차방정식이 아니라 이차방정식이 됩니다.

그래프는 어떻게 도움이 되나요?

실근은 곡선이 x축과 만나는 점입니다. 삼차곡선은 한 번 또는 세 번 축을 지나며, 중근일 때는 접하기만 합니다.