⭕ 내접원 계산기
삼각형의 내접원 반지름과 넓이를 계산합니다.
내접원이란?
삼각형의 세 변 모두에 접하는 원입니다. 내접원의 중심(내심, I)은 세 내각의 이등분선의 교점입니다.
내접원 반지름 공식
r = S / s
S는 삼각형 넓이, s는 반둘레(perimeter/2)입니다.
s = (a + b + c) / 2
S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))
다른 표현
r = (a + b − c) / 2 × tan(C/2)
이 공식은 직각삼각형(C=90°)에서 r = (a + b − c) / 2 임을 보여줍니다.
넓이와의 관계
S = r × s
내접원 반지름과 반둘레의 곱은 삼각형 넓이와 같습니다.
내심의 좌표
I = (a·A + b·B + c·C) / (a + b + c)
각 변의 대변 길이로 가중 평균한 꼭짓점 좌표가 내심입니다.
계산 예시
세 변이 3, 4, 5cm이면 반둘레가 6, 넓이가 6cm²이므로 r = 1cm이고 원의 넓이는 π ≈ 3.1416cm², 둘레는 약 6.2832cm입니다.
한 변이 6cm인 정삼각형은 r = 15.5885 ÷ 9 ≈ 1.7321cm이고 원의 넓이는 3π ≈ 9.4248cm², 둘레는 약 10.8828cm입니다.
공식이 전제하는 조건
내접원은 세 변에 각각 한 점에서 접하며, 그 접점은 내심에서 변에 내린 수선의 발입니다. 내심은 세 각의 이등분선이 만나는 점이고, 내접원은 삼각형 안에 들어가는 가장 큰 원이라 반지름이 어떤 높이보다도 작습니다. 삼각형이 만들어지지 않는 조합은 계산 전에 걸러집니다.
자주 묻는 질문
- 반지름이 넓이를 반둘레로 나눈 값인 이유는?
- 내심과 세 꼭짓점을 이으면 높이가 r인 삼각형 세 개로 나뉘고, 그 넓이의 합이 ½r(a + b + c) = r·s가 됩니다.
- 직각삼각형에서는 더 간단한 공식이 있나요?
- r = (a + b − c) / 2를 쓰면 됩니다. 3, 4, 5cm라면 (3 + 4 − 5) / 2 = 1cm로 넓이 ÷ 반둘레와 같은 값입니다.
- 내심과 외심은 어떻게 다른가요?
- 내심은 세 변에서 같은 거리에 있고 항상 삼각형 안쪽에 있습니다. 외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있으며 둔각삼각형에서는 바깥에 놓입니다.