🔢 사차방정식 계산기
사차방정식의 해를 구합니다.
f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
4차방정식이란
최고차항의 차수가 4인 방정식으로, 일반형은 ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 (a≠0)입니다. 실수 근은 최대 4개를 가지며, 복소수를 포함하면 항상 4개의 근이 존재합니다.
풀이 방법
페라리(Ferrari) 공식을 이용하거나, 수치 해석적 방법(뒤랑-케르너법)으로 근을 구합니다. 이 계산기는 뒤랑-케르너 반복법을 사용합니다.
|Δrᵢ| < 10⁻¹² 가 될 때까지 반복
근의 종류
실근 4개: 그래프가 x축을 4번 교차
실근 2 + 허근 2: x축을 2번 교차
허근 4개: x축과 교차 없음
이중근 포함: 그래프가 x축에 접함
비에타 공식
x₁+x₂+x₃+x₄ = −b/a
x₁x₂x₃x₄ = e/a
계산 예시
x⁴ − 5x² + 4 = 0은 (x² − 1)(x² − 4)로 인수분해되어 네 실근이 ±1, ±2입니다.
x⁴ + 1 = 0은 실근이 하나도 없어 네 근이 모두 복소수이며 켤레복소근 두 쌍으로 나타납니다.
결과를 볼 때 유의할 점
사차방정식은 중복을 포함해 항상 근이 네 개지만, 실근은 0개, 2개, 4개 중 하나입니다. 두란-커너 반복법을 쓰기 때문에 중근이나 거의 겹치는 근에서는 정확히 0 대신 아주 작은 허수부가 남을 수 있습니다. 계수는 실수여야 하고 a는 0이면 안 됩니다.
자주 묻는 질문
- 사차방정식에 실근이 없는 경우가 있나요?
- 짝수 차수 다항식은 곡선 전체가 축 위나 아래에 머물 수 있습니다. x⁴ + 1이 그 예이며, 나머지 근은 복소평면에 켤레 쌍으로 존재합니다.
- 손으로 푸는 방법은 무엇인가요?
- 먼저 인수분해를 시도하세요. x⁴ − 5x² + 4는 x²에 대한 이차식이라 u = x²로 두면 u² − 5u + 4 = 0, 즉 u = 1 또는 4입니다.
- 수치해법은 정확도를 잃지 않나요?
- 근이 서로 멀면 빠르게 수렴하지만 중근 근처에서는 느려집니다. 허수부가 1e−9 정도로 보이면 중근일 가능성이 큽니다.