⭕ 외접원 계산기

외접원이란?

삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원입니다. 외접원의 중심(외심, O)은 세 변의 수직이등분선의 교점입니다.

외접원 반지름 공식

여기서 S는 삼각형의 넓이입니다. 헤론의 공식으로 구합니다:

사인 법칙과의 관계

외접원의 지름은 사인 법칙에서 각 변을 대응각의 사인으로 나눈 값과 같습니다.

외심의 위치

예각삼각형: 외심이 삼각형 내부에 위치

직각삼각형: 외심이 빗변의 중점 (R = 빗변/2)

둔각삼각형: 외심이 삼각형 외부에 위치

계산 예시

세 변이 3, 4, 5cm인 삼각형의 넓이는 6cm²이므로 R = (3 × 4 × 5) / (4 × 6) = 2.5cm, 외접원의 넓이는 π × 6.25 ≈ 19.635cm², 둘레는 약 15.708cm입니다.

한 변이 6cm인 정삼각형은 넓이가 15.5885cm²이고 R = 6 / √3 ≈ 3.4641cm이므로 외접원의 넓이는 12π ≈ 37.6991cm²입니다.

공식이 전제하는 조건

R = abc ÷ 4K는 실제로 존재하는 삼각형에서만 성립하므로, 삼각형 부등식을 어기는 세 변은 반지름 대신 오류로 표시됩니다. 세 점이 한 직선 위에 있으면 유한한 외접원이 존재하지 않습니다. 외심은 예각삼각형에서는 안쪽, 직각삼각형에서는 빗변 위, 둔각삼각형에서는 바깥에 놓입니다.

자주 묻는 질문

직각삼각형에서 반지름이 빗변의 정확히 절반인 이유는?

탈레스 정리로 반원에 내접하는 각은 직각이 되므로 빗변이 지름이 됩니다. 세 변이 3, 4, 5cm라면 반지름은 2.5cm입니다.

사인 법칙과는 어떻게 연결되나요?

확장된 사인 법칙 2R = a / sin A = b / sin B = c / sin C가 성립합니다. 한 변과 그 대각만 알아도 반지름을 구할 수 있다는 뜻입니다.

삼각형이 변하면 외심은 어디로 움직이나요?

세 변의 수직이등분선이 만나는 점을 따라 움직이며 삼각형 바깥으로 나가기도 합니다. 그래도 세 꼭짓점까지의 거리는 늘 같습니다.