📐 정삼각형 계산기
한 변의 길이로 정삼각형의 넓이, 높이, 둘레를 계산합니다.
정삼각형이란?
세 변의 길이가 모두 같고 세 내각이 모두 60°인 삼각형입니다. 한 가지 값만 알면 나머지를 모두 계산할 수 있습니다.
한변의 길이(a)를 알 때
h = (√3 / 2) × a
L = 3a
S = (√3 / 4) × a² = (1/2) × a × h
높이(h)를 알 때
a = 2h / √3
L = 2√3 × h
S = (1/√3) × h²
면적(S)을 알 때
h = √(√3 × S)
a = √(4S / √3)
L = 3a
정삼각형의 성질
정삼각형은 세 중심(외심, 내심, 무게중심, 수심)이 모두 일치하며, 정삼각형의 외접원 반지름 R = a/√3, 내접원 반지름 r = a/(2√3) 입니다.
계산 예시
한 변이 6cm인 정삼각형은 넓이 (√3 / 4) × 36 = 9√3 ≈ 15.5885cm², 높이 3√3 ≈ 5.1962cm, 둘레 18cm입니다.
한 변이 10cm라면 넓이는 25√3 ≈ 43.3013cm², 높이는 5√3 ≈ 8.6603cm, 둘레는 30cm입니다.
결과를 볼 때 유의할 점
세 변이 모두 같고 세 내각이 정확히 60°이므로 한 변만 알아도 도형이 완전히 정해집니다. 높이는 중선이자 각의 이등분선과 같고, 넓이는 변의 제곱에 비례해 변을 6cm에서 12cm로 두 배로 늘리면 넓이는 약 62.3538cm²로 네 배가 됩니다.
자주 묻는 질문
- 넓이 공식에 √3 / 4가 붙는 이유는 무엇인가요?
- 정삼각형의 높이는 (√3 / 2)a이므로 ½ × a × (√3 / 2)a = (√3 / 4)a²가 됩니다. 계수는 변의 길이와 무관하게 늘 일정합니다.
- 내접원과 외접원의 반지름은 어떻게 구하나요?
- 둘 다 변의 길이에 비례합니다. 내접원은 r = a√3 / 6 ≈ 0.2887a, 외접원은 R = a / √3 ≈ 0.5774a이고 외접원이 정확히 두 배입니다.
- 세 각이 60°인 삼각형은 항상 정삼각형인가요?
- 그렇습니다. 각이 같으면 마주 보는 변도 같아지므로 세 각을 주든 세 변을 주든 같은 도형 하나로 정해집니다.