判別式の符号は何を教えてくれますか？

Δ > 0 なら異なる3つの実数解、Δ = 0 なら重解を持つ実数解、Δ < 0 なら実数解1つと共役な複素数解1組です。

a が0だとどうしていけませんか？

x³ の項が消えて次数が2に下がり、別の解法が必要になります。a = 0 では三次方程式ではなく二次方程式です。

実数解は曲線が x 軸と交わる点です。三次曲線は1回または3回交わり、重解のときは接するだけになります。

三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 の解を求めます。

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

aの値 bの値 cの値 dの値

最高次数が3の方程式で、一般形は ax³ + bx² + cx + d = 0 (a≠0) です。実数解は最小1個、最大3個あります。

押しつぶされた三次形 t³ + pt + q = 0 に置換した後、以下を適用します。

x = t − b/(3a)

p = (3ac − b²) / (3a²)

q = (2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³)

Δ = −(4p³ + 27q²)

Δ > 0: Δ > 0：3つの異なる実数解（三角関数法）

Δ = 0: Δ = 0：重根を含む実数解

Δ < 0: Δ < 0：実数解1つ + 虚数解2つ（共役複素数）

x₁+x₂+x₃ = −b/a

x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃ = c/a

x₁·x₂·x₃ = −d/a

x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 は異なる3つの実数解 1・2・3 を持ち、判別式は正です。

x³ + x = 0 は x(x² + 1) と因数分解でき、実数解0と ±i が残ります。判別式が負のときの典型例です。

三次関数は −∞ から +∞ まで続くため必ず x 軸を1回は横切ります。したがって実数解が0個になることはありません。判別式が正なら異なる3つの実数解、0なら重解を含む実数解、負なら実数解1つと複素数解1組です。係数は実数として扱い、解は表示時に丸めます。

判別式の符号は何を教えてくれますか？: Δ > 0 なら異なる3つの実数解、Δ = 0 なら重解を持つ実数解、Δ < 0 なら実数解1つと共役な複素数解1組です。
a が0だとどうしていけませんか？: x³ の項が消えて次数が2に下がり、別の解法が必要になります。a = 0 では三次方程式ではなく二次方程式です。
グラフはどう役立ちますか？: 実数解は曲線が x 軸と交わる点です。三次曲線は1回または3回交わり、重解のときは接するだけになります。