📐 正三角形計算機
一辺の長さから正三角形の面積、高さ、周長を計算します。
正三角形とは？
3辺の長さがすべて等しく、内角がすべて60°の三角形です。1つの値が分かれば残りをすべて求められます。
一辺の長さ(a)がわかるとき
h = (√3 / 2) × a
L = 3a
S = (√3 / 4) × a² = (1/2) × a × h
高さ(h)がわかるとき
a = 2h / √3
L = 2√3 × h
S = (1/√3) × h²
面積(S)がわかるとき
h = √(√3 × S)
a = √(4S / √3)
L = 3a
正三角形の性質
正三角形は外心・内心・重心・垂心がすべて一致します。外接円半径 R = a/√3、内接円半径 r = a/(2√3) です。
計算例
1辺6cmの正三角形は、面積 (√3 / 4) × 36 = 9√3 ≈ 15.5885cm²、高さ 3√3 ≈ 5.1962cm、周長18cmです。
1辺10cmなら面積は 25√3 ≈ 43.3013cm²、高さは 5√3 ≈ 8.6603cm、周長は30cmになります。
結果を見るときの注意
3辺がすべて等しく3つの内角がちょうど60°なので、1辺の長さだけで形が完全に決まります。高さは中線と角の二等分線を兼ね、面積は1辺の2乗に比例するため、1辺を6cmから12cmへ2倍にすると面積は約62.3538cm²と4倍になります。
よくある質問
- 面積の公式に √3 / 4 が付くのはなぜですか？
- 正三角形の高さは (√3 / 2)a なので、½ × a × (√3 / 2)a = (√3 / 4)a² となります。係数は1辺の長さによらず一定です。
- 内接円と外接円の半径はどう求めますか？
- どちらも1辺の長さに比例します。内接円は r = a√3 / 6 ≈ 0.2887a、外接円は R = a / √3 ≈ 0.5774a で、外接円の半径はちょうど2倍です。
- 3つの角が60°の三角形は必ず正三角形ですか？
- はい。角が等しければ向かい合う辺も等しくなるため、3つの角を与えても3辺を与えても同じ図形1つに決まります。