⭕ 内接円計算機
三角形の内接円の半径と面積を計算します。
内接円とは？
三角形の3辺すべてに接する円です。内接円の中心（内心、I）は3つの内角の二等分線の交点です。
内接円の半径公式
r = S / s
Sは三角形の面積、sは半周長（周長/2）です。
s = (a + b + c) / 2
S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))
別の表現
r = (a + b − c) / 2 × tan(C/2)
この公式は直角三角形(C=90°)では r = (a + b − c) / 2 であることを示しています。
面積との関係
S = r × s
内接円の半径と半周長の積は三角形の面積に等しいです。
内心の座標
I = (a·A + b·B + c·C) / (a + b + c)
各辺の対辺の長さで加重平均した頂点座標が内心になります。
計算例
3辺が3cm・4cm・5cmなら半周長6、面積6cm²なので r = 1cm、円の面積は π ≈ 3.1416cm²、円周は約6.2832cmです。
1辺6cmの正三角形は r = 15.5885 ÷ 9 ≈ 1.7321cm、円の面積は 3π ≈ 9.4248cm²、円周は約10.8828cmです。
結果が前提とする条件
内接円は3辺それぞれと1点で接し、その接点は内心から辺へ下ろした垂線の足です。内心は3つの角の二等分線が交わる点で、内接円は三角形の内側に収まる最大の円なので半径はどの高さよりも小さくなります。三角形が成り立たない3辺は計算前に除外されます。
よくある質問
- 半径が面積を半周長で割った値になるのはなぜですか？
- 内心と3頂点を結ぶと高さrの三角形3つに分かれ、その面積の合計が ½r(a + b + c) = r·s になるからです。
- 直角三角形では簡単な公式がありますか？
- r = (a + b − c) / 2 が使えます。3cm・4cm・5cmなら (3 + 4 − 5) / 2 = 1cm で、面積 ÷ 半周長と同じ値です。
- 内心と外心はどう違いますか？
- 内心は3辺から等距離で常に三角形の内側にあります。外心は3頂点から等距離で、鈍角三角形では外側に位置します。