🔢 二次方程式計算機
二次方程式 ax² + bx + c = 0 の解を求めます。
f(x) = ax² + bx + c
解の公式
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
判別式
D = b² − 4ac
D > 0：異なる2つの実数解
D = 0：重根
D < 0：2つの虚数解
頂点 (Vertex)
x_v = −b / 2a
y_v = c − b² / 4a
放物線の頂点です。a > 0のとき最小値、a < 0のとき最大値。
ビエタの公式
x₁ + x₂ = −b/a
x₁ · x₂ = c/a
計算例
x² − 5x + 6 = 0はD = 25 − 24 = 1なので、x = (5 ± 1) / 2からx₁ = 3、x₂ = 2です。
x² + 4x + 8 = 0はD = 16 − 32 = −8なので、解は共役複素数 −2 + 2i と −2 − 2i です。
前提と限界
結果は小数第6位まで四捨五入し、aは0にはできません。a = 0なら二次ではなく一次方程式になるためです。複素数解は虚数単位iで表示し、解と係数の関係(和 −b/a、積 c/a)は複素数解を含むすべての解で成り立ちます。
よくある質問
- 判別式から何が分かりますか
- D = b² − 4acが解の種類を決めます。正なら異なる2つの実数解、0なら放物線がx軸に接する重解、負なら共役な2つの複素数解です。
- aが0ではいけないのはなぜですか
- a = 0だとx²の項が消えてbx + c = 0という直線になり、解は−c/bの1つだけになります。解の公式のようにaで割る計算も定義できません。
- 放物線の頂点とは何ですか
- 頂点はx = −b/2a、y = c − b²/4aにあります。a > 0なら最小値、a < 0なら最大値となり、D = 0のときはその点が重解そのものです。