⭕ 外接円計算機
三角形の外接円の半径と面積を計算します。
外接円とは？
三角形の3つの頂点をすべて通る円です。外接円の中心（外心、O）は3辺の垂直二等分線の交点です。
外接円半径の公式
R = abc / (4S)
ここで S は三角形の面積で、ヘロンの公式で求めます：
s = (a + b + c) / 2
S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))
正弦定理との関係
a / sin A = 2R
外接円の直径は各辺をその対角の正弦で割った値と等しくなります。
外心の位置
鋭角三角形：外心が三角形の内部に位置
直角三角形：外心が斜辺の中点 (R = 斜辺/2)
鈍角三角形：外心が三角形の外部に位置
計算例
3辺が3cm・4cm・5cmの三角形は面積6cm²なので、R = (3 × 4 × 5) / (4 × 6) = 2.5cm、外接円の面積は π × 6.25 ≈ 19.635cm²、円周は約15.708cmです。
1辺6cmの正三角形は面積15.5885cm²で R = 6 / √3 ≈ 3.4641cm、外接円の面積は 12π ≈ 37.6991cm² になります。
半径の公式が前提とする条件
R = abc ÷ 4K は実際に存在する三角形でのみ成り立つため、三角不等式を満たさない3辺では半径ではなくエラーを返します。3点が一直線上にあると有限の外接円は存在しません。外心は鋭角三角形では内側、直角三角形では斜辺上、鈍角三角形では外側にきます。
よくある質問
- 直角三角形で半径が斜辺のちょうど半分になるのはなぜですか？
- タレースの定理により半円に内接する角は直角になるため、斜辺が直径になります。3cm・4cm・5cmなら半径は2.5cmです。
- 正弦定理とはどうつながりますか？
- 拡張正弦定理 2R = a / sin A = b / sin B = c / sin C が成り立ちます。1辺とその対角だけでも半径が決まるという意味です。
- 三角形が変わると外心はどこへ動きますか？
- 3辺の垂直二等分線の交点として動き、三角形の外に出ることもあります。それでも3つの頂点までの距離は常に等しくなります。