🔢 四次方程式計算機

四次方程式とは

最高次数が4の方程式で、一般形は ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 (a≠0) です。実数解は最大4個、複素数を含めると常に4個の解があります。

解法

フェラーリの公式またはデュラン・ケルナー数値法で解を求めます。この計算機はデュラン・ケルナー反復法を使用します。

解の種類

実数解4個：グラフがx軸を4回横断

実数解2 + 虚数解2：x軸を2回横断

虚数解4個：x軸と交差なし

重根を含む：グラフがx軸に接する

ビエタの公式

計算例

x⁴ − 5x² + 4 = 0 は (x² − 1)(x² − 4) と因数分解でき、4つの実数解は ±1 と ±2 です。

x⁴ + 1 = 0 は実数解がなく、4つの解はすべて複素数で共役な2組として現れます。

結果を見るときの注意

四次方程式は重複を込めれば常に4つの解を持ちますが、実数解は0個・2個・4個のいずれかです。デュラン=カーナー法による反復計算のため、重解やほぼ重なる解では厳密な0ではなく非常に小さな虚部が残ることがあります。係数は実数、a は0以外である必要があります。

よくある質問

実数解がない四次方程式もあるのですか？

偶数次の実多項式は曲線全体が軸の上か下にとどまることがあります。x⁴ + 1 がその例で、残りの解は複素平面に共役な組として存在します。

手計算で解くにはどうしますか？

まず因数分解を試します。x⁴ − 5x² + 4 は x² についての二次式なので、u = x² と置くと u² − 5u + 4 = 0、u = 1 または 4 です。

数値解法では精度が落ちますか？

解が離れていれば速く収束しますが重解の近くでは遅くなります。虚部が 1e−9 程度なら重解の可能性が高いです。